Les étudiants restent perplexes et confus avec le fait mathématique que 0.9999 = 1. De nombreux arguments de pré-calcul renforcent la vérité derrière ce problème mathématique fortement débattu. Avec la distance apparemment infinie entre 0.999 et 1, on peut comprendre la difficulté de sa compréhension.
La répétition de 9 s'avère fermer la distance entre les deux chiffres. Comme tous les 9 sont ajoutés à la fin de 0.999…, le nombre se rapproche de plus en plus de 1, conduisant finalement à sa convergence.
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La Convergence Définie de 0.999 à 1
Les mathématiques sont un sujet généralement déroutant pour la plupart des élèves du secondaire, en particulier l'équation véridique 0.9999 = 1. La plupart des gens supposent qu'il y aurait un nombre minuscule qui empêcherait les deux d'être égaux. Si l'on veut comprendre pourquoi les nombres apparemment infinis de 9 équivalent à 1, il faut comprendre les longues expansions décimales.
Les décimales terminales et de longueur finie sont très directes. Ce sont des fractions qui ont pour dénominateur une puissance de dix. 0.25 ou la fraction 25/100 équivaut à 1/4, 0.9 équivaut à 9/10, ces décimales terminales et de longueur finie peuvent servir à étendre les décimales non terminales.
Pendant ce temps, les décimales infiniment longues désignent une séquence décimale compressée de longueur finie, ce qui signifie que 0.9999 et ainsi de suite représente une succession de 9 après la virgule décimale. Le premier nombre est 0.9, le suivant est 0.99 et le suivant est 0.999, et cela continue. Pour chaque nombre suivant, on ajoute un nombre 9 à la fin du chiffre précédent.
Cela dit, 0.99999 et ainsi de suite n'est pas une séquence de nombres écrasante et sans fin, mais une contribution de nombreuses décimales terminales. L'addition de chaque 9 au nombre entier ferme sa distance à 1 à chaque fois car l'intervalle entre deux nombres différents n'est que la différence entre le plus grand nombre et le plus petit nombre.
Au fur et à mesure que le chiffre global se rapproche de 1, on peut voir que chaque entier plus proche de 1 dénote une quantité finie de 9s après une virgule décimale qui est plus proche de fermer sa distance à 1. On peut voir que le montant de 9s après la virgule devient de plus en plus longue, la suite converge vers 1 comme limite de sa suite. (La source: Business Insider)
Le scepticisme derrière l'équation
Le doute constant des étudiants sur la vérité 0.999 = 1 malgré les nombreux arguments prouvant son exactitude a une base historique. Des experts ont étudié ce phénomène et déterminé diverses causes sous-jacentes au scepticisme des étudiants.
Certains élèves ont tendance à percevoir 0.999 comme un chiffre en constante évolution, car ils voient le nombre se rapprocher de plus en plus de 1, l'espace entre les deux chiffres ne diminuant jamais. Cette perception peut être associée au concept d'infinité potentielle d'Aristote qui stipule que 0.999 et ainsi de suite n'est qu'une expansion décimale potentiellement infinie.
Les chercheurs ont identifié deux catégories de raisonnements d'acceptation ou de rejet des étudiants. Les Similitude par proximité et la Différence infinitésimale ont des conclusions différentes même s'ils utilisent le même raisonnement. Tandis que Similitude par proximité conclut que les valeurs peuvent être les mêmes car la différence est infiniment petite, Différence infinitésimale déclare que les valeurs seront toujours différentes en raison de la distance infiniment petite entre les valeurs. (La source: L'éducateur en mathématiques)
